Сумма всех делителей числа - это важная характеристика в теории чисел, имеющая широкое применение в различных математических задачах. Рассмотрим свойства и методы вычисления этой величины.
Содержание
Определение суммы делителей
Сумма всех делителей натурального числа n (обозначается σ(n)) - это сумма всех натуральных чисел, на которые n делится без остатка, включая 1 и само число.
| Число | Делители | Сумма делителей σ(n) |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | 1+2+3+6 = 12 |
| 10 | 1, 2, 5, 10 | 1+2+5+10 = 18 |
| 17 | 1, 17 | 1+17 = 18 |
Свойства суммы делителей
- Для простого числа p: σ(p) = p + 1
- Для степени простого числа pk: σ(pk) = (pk+1 - 1)/(p - 1)
- Функция σ мультипликативна: если a и b взаимно просты, то σ(ab) = σ(a)σ(b)
Алгоритм вычисления суммы делителей
Для произвольного числа
- Найдите все делители числа
- Сложите все найденные делители
По каноническому разложению
Если n = p1a1 × p2a2 × ... × pkak, то:
σ(n) = σ(p1a1) × σ(p2a2) × ... × σ(pkak)
Примеры вычислений
| Число | Разложение | Расчет | σ(n) |
| 12 | 22 × 31 | (23-1)/1 × (32-1)/2 | 7 × 4 = 28 |
| 25 | 52 | (53-1)/4 | 31 |
Применение суммы делителей
- Определение совершенных чисел (σ(n) = 2n)
- Изучение дружественных чисел (σ(a) = σ(b) = a + b)
- Анализ недостаточных и избыточных чисел
- Исследование в теории алгебраических чисел
Интересные факты
| Совершенные числа | 6, 28, 496, 8128 | σ(n) = 2n |
| Дружественные числа | 220 и 284 | σ(220) = σ(284) = 504 |
Программная реализация
Для вычисления суммы делителей можно использовать следующий алгоритм:
- Факторизовать число (найти его простые делители)
- Для каждого простого делителя вычислить σ(pk)
- Перемножить полученные значения
Функция суммы делителей играет важную роль в современной теории чисел и имеет множество интересных свойств, продолжающих изучаться математиками.
